一般来说,质数定理告诉我们

简介: 一般来说,质数定理告诉我们,对于 n 很大的情况, n/ln(n) 得到的近似值几乎是真值的 100% 。

图源 SKopp, CC BY-SA 3.0.每一个正整数都可以借助一种特定的数学结构写成质数的乘积,例如 30 = 2×3×5 。

我们可以用 p1 , p2 , p3 等来表示,直到最后一个质数 pn 。

现在定义某个数字 P :比方说如果只有5个质数:p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, p4 = 7, p5 = 11,那么存在一个数 P :如果 P 本身是质数(就像在我们的例子中一样),那么很明显它不可能是我们列表中的一个质数:因为它比所有的质数都大。

如果 P 不是质数,那么,就像其他自然数一样,它一定可以写成质数的乘积。

我们选一个能被 P 整除的质数,用 p 表示。

可以看出, p 不能是 p1 到 pn 的任何质数,否则就会出现余数 1 :而 1 不能被任何其他的自然数整除。

pn 并不能包含我们假设的所有质数。

几千年来,我们一直知道有无限多个质数(参见这里的证明),但并没有一个简单的公式告诉我们它们都是多少。

它试图回答这样一个问题:“给定一个正整数 n ,包括 n 在内的所有整数,有多少个是质数?”质数定理并没有精确地回答这个问题,而是给出了一个近似值。

宽泛地说,对于比较大的整数,表达式:是一个很准确的质数估计,而且随着n的增大,这个估计也会变得更准确。

其中 ln(n) 是自然对数,可以通过计算器得到。

举个例子,让我们来看看 n=1000 的情况。

质数定理并不是说,对于一个给定的整数n,真值和我们的近似值之间的差值接近 0 。

回到我们 n=1000 的例子,真值是 168,近似值是 145 。

因此,近似构成的比例:近似值占真实值的 86% ,不错。

当 n=100000 时,包含 100000 的质数是 9592 ,这是真值,估值是 8686 。

在这种情况下,估值占真值的 90% 。

这相比于 n=1000 的情况,比例从 86% 提升到了 90% 。

一般来说,质数定理告诉我们,对于 n 很大的情况, n/ln(n) 得到的近似值几乎是真值的 100% 。

事实上,你可以让它接近 100% ——只要你选择足够大的 n 。

红色曲线显示的是小于或等于n的质数数目,其中横轴表示 n 。

蓝色曲线给出 n/ln(n) 的值。

真实结果和近似结果之间的差值随着 n 的增长而增加,但两者之间的比值趋于 1 。

这个定理可以用公式表述:(1)如果你懂一点微积分你就会知道你可以交换分子和分母,此时表达式 (1) 等于:(2)素数定理通常用第二个表达式 (2) 来表述,有时也写成:表示:“当 n 趋近于无穷大时, n/log(n) 趋近于 π(n) ”。


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