方法一:相等关系为主,不等关系为辅解:设这个多边形是n变形

简介: 方法一:相等关系为主,不等关系为辅解:设这个多边形是n变形,少加的那个内角度数为α.依题意得 (n-2)·180°=1720°-α∵n为边数,0°<α<180°

少算一个内角例1、小明在加一个多边形的所有内角时少加了一个内角,得到的内角和是1720°,问这个多边形是几边形?

分析:本题有一个明显的相等关系:多边形内角和-少加的内角=1720°.如果知道是多边形内角和,少加的内角就能算出来,如果知道少加的内角,也能算出多边形内角和,但是偏偏二者都不知道!

先看内角和,多边形内角和公式为(n-2)·180°,必然是180°的整数倍,所以1720°+少加的内角必然是180°的整数倍。

再看内角,内角度数是限制范围的,凸多边形的内角度数大于0°而小于180°。

分析至此,本题的思路已然浮现。

解:设这个多边形是n变形,少加的那个内角度数为α。

依题意得 (n-2)·180°=1720°+α∵n为边数,0°<α<180°∴α=80°,n=12.∴这个多边形是十二边形,少加的那个内角是80°.方法二:不等关系为主,相等关系为辅。

依题意得 0°< (n-2)·180°-1720°<180°解得 11(5/9)<n<12(5/9)∵n为边数,∴n=12少加的内角度数为 (12-2)·180°-1720°=80°.∴这个多边形是十一边形,少加的那个内角是100°多算一个内角例2、小明在加一个多边形的所有内角时重复加了一个内角,得到的内角和是1720°,问这个多边形是几边形?

方法一:相等关系为主,不等关系为辅解:设这个多边形是n变形,少加的那个内角度数为α.依题意得 (n-2)·180°=1720°-α∵n为边数,0°<α<180°.∴α=100°,n=11.∴这个多边形是十一边形,重复加的那个内角是100°.方法二:不等关系为主,相等关系为辅解:设这个多边形是n变形.依题意得 0°<1720°- (n-2)·180°<180°解得 10(5/9)<n<11(5/9)∵n为边数,∴n=11少加的内角度数为 1720°-(11-2)·180°=100°.∴这个多边形是十一边形,重复加的那个内角是100°小结:当由少加一个内角变为多加一个内角后,边数少了1,少加与多加的度数之和正好为180°变式:内角和与一个外角之和例3、一个多边形的内角和与多边形的一个外角相加,和是1720°,问这个多边形是几边形?

分析:例3其实和例2是一样的,多边形的外角同内角的取值范围相同,也是0~180°.故本题步骤和结论同例2基本相同,此处不再赘述。

总结方法一其实是通过解限定条件下的二元一次方程,一般的二元一次方程有无数组解,但如果有限定条件,就可以得到有限组解甚至唯一解。

方法二是通过解不等式组得到未知数的取值范围,然后根据实际意义求整数解,实际问题的整数解往往是有限的甚至是唯一的。

这就是一个学以致用的问题,一方面要注重经验的积累,另一方面要对已学知识进行再学习、再整合,好好修炼内功,以期达到举一反三的效果。


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