则二次导数h"(x)=e^x+sinx,那就有很多同学说了

简介: 则二次导数h"(x)=e^x+sinx,那就有很多同学说了,这二次导数在区间(-π/2,0)上也不好判断出与0的大小关系啊?

(ⅰ)求实数a的值;(ⅱ)若对任意的x1,x2∈[1/e,3],不等式(f(x1)-f(x2))/(k-1)≤1恒成立,求实数k的取值范围。

所以当x=1处是函数f(x)极大值,因为函数f(x)与g(x)有相同的极值点,所以将x=1代入g(x)的导数中,则该一次导数g'(x)=0.因为g'(x)=1-a/x^2,将x=1时,则有1-a/1^2=0,解得到a=1.这样就求出了a的数值。

对于给出的不等式“(f(x1)-g(x2))/(k-1)≤1”并没有给出k的已知,如果k-1小于0是需要该不等式的不等号改变方向的,而当k-1大于0时,该不等式就不需要改变不等号的方向,所以在无法判断k-1的正负时,我们需要分布讨论说明k-1大于0和小于0的情况。

当k-1>0时即k>1时,原不等式“(f(x1)-g(x2))/(k-1)≤1”变为f(x1)-g(x2)+1≤k,所以只要求出函数f(x1)-g(x2)+1的最大值,就可以得出此时k的取值范围。

要想函数f(x1)-g(x2)+1取最大值,则函数f(x1)要在区间[1/e,3]上取最大值,函数g(x2)要在区间上取最小值。

因为函数f(x)在区间(0,+∞)上是先增后减的,而区间[1/e,3]是区间(0,+∞)的子区间,该函数极大值点也在子区间[1/e,3]内,所以在区间[1/e,3]的最大值就是该函数f(x)的极大值,即f(x)max=f(1)=-1.因为a=1,所以g(x)=x+1/x,一次导数为g'(x)=1-1/x^2=(x^2-1)/x^2,令 g'(x)=0,解得到x=±1。

因为x2∈[1/e,3],所以函数g(x)在区间[1/e,1]为减,在区间[1,3]为增,即当x=1时,g(x)取最小值,即g(x)min=g(1)=2.所以函数f(x1)-g(x2)+1最大值为-1-2+1=-2,所以此时k≥-2.所以此时k的取值范围为k>1.当k-1<0时即k<1时,则不等式“(f(x1)-g(x2))/(k-1)≤1”变为f(x1)-g(x2)+1≥k。

要想得到函数“t=f(x1)-g(x2)+1≥k”的最小值,只需要f(x1)取最小值和g(x2)取最大值即可。

函数f(x1)在区间[1/e,3]是先增后减的,所以最小值只能是两个端点中取。

即f(1/e)=-2-1/e^2,f(3)=2ln3-9,因为-2-1/e^2>2ln3-9,所以函数f(x)在区间[1/e,3]的最小值为当x=3时,即2ln3-9。

函数g(x2)在区间[1/e,3]先减后增的,所以最大值只能是在两个端点中取。

即g(1/e)=e+1/e,g(3)=3+1/3,因为3+1/3>e+1/e,所以函数g(x)在区间[1/e,3]上的最大值为当x=3时,即3+1/3。

所以函数t=f(x1)-g(x2)+1的最小值为2ln3-9-3-1/3+1=2ln3-34/3.因为2ln3-34/3<1,所以此时k的取值范围为k≤2ln3-34/3.综上所述,k的取值范围为(-∞,2ln3-34/3]∪(1,+∞)。

第二问第二问是求“当a=0时,设函数h(x)=e^g(x)-sin(g(x))-1。

”当a=0时,g(x)=x,则有函数h(x)=e^x-sinx-1,即求函数h(x)=e^x-sinx-1在(-π,0)上零点的个数。

要想求函数h(x)在区间(-π,0)上零点的个数,要对函数h(x)求导,根据该导数与0的大小关系来判断该函数的单调性,再根据该函数的单调性来判断该函数的最大最小值,然后根据函数的最大最小值与0的大小关系来判断该函数零点的个数。

余弦函数图像如图,根据余弦函数图像y=cosx在区间(-π,-π/2)上是一个恒小于0的数,且e^x在(-π,-π/2)上是大于0的数,所以一次导数h'(x)=e^x-cosx在区间(-π,-π/2)是恒大于0的,所以函数h(x)在区间(-π,-π/2)上是单调递增的。

又因为h(-π)=e^(-π)-sin(-π)-1=e^(-π)-1<0,而h(-π/2)=e^(-π/2)>0,所以该函数h(x)在区间(-π,-π/2)上有一个零点。

所以下面我们只需判断函数h(x)在区间(-π/2,0)上的零点个数即可。

而一次导数h'(x)=e^x-cosx在区间(-π/2,0)上无法判断出与0的大小关系,那该怎么办呢?

这种情况下我们要对一次导数h'(x)=e^x-cosx进行二次求导,根据该函数h(x)的二次导数来判断函数h(x)的一次导数与0的大小关系。

则二次导数h"(x)=e^x+sinx,那就有很多同学说了,这二次导数在区间(-π/2,0)上也不好判断出与0的大小关系啊?

我们仔细观察二次导数h"(x)=e^x+sinx,我们不难发现它在区间(-π/2,0)上是单调递增的,因为e^x在该区间是单调递增的,而sinx在该区间也是单调递增的。

因为当x=-π/4时,二次导数h"(x)=e^x+sinx的值为e^(-π/4)-√2/2<0,因为e^π>e^3>4,所以e^(π/4)>4^(1/4)=√2,所以e^(-π/4)<√2/2;因为二次导数h"(x)=e^x+sinx随着x不断趋近0时,该二次导数也趋近最大值,即该最大值为1>0。

所以在区间(-π/2,0)上存在一点使二次导数h"(x)=e^x+sinx=0,设该点为x0,则有e^x0+sinx0=0,此时的x0∈(-π/4,0)——这个范围后面要用。

即当-π/20.所以一次导数h'(x)=e^x-cosx在区间(-π/2,x0)为单调递减,在区间(x0,0)上是单调递增。

因为e^x0+sinx0=0,所以e^x0=-sinx0,所以一次导数h'(x)=e^x-cosx的最小值为e^x0-cosx0=-sinx0-cosx0=-(sinx0+cosx0)=-√2sin(x0+π/4),因为x0∈(-π/4,0),所以x0+π/4∈(0,π/2),所以一次导数h'(x)=e^x-cosx的最小值为e^x0-cosx0<0.因为当x=-π/2时,一次导数h'(x)=e^x-cosx=e^(-π/2)>0,h'(0)=1-1=0,一次导数增的部分是恒小于0的,所以存在一点x1∈(-π/2,0),使一次导数为0,即h'(x1)=e^x1-cosx1=0。

所以当x∈(-π/2,x1)时,h'(x)>0,则函数h(x)是单调递增的;当x∈(x1,0)时,h'(x)<0,则函数h(x)是单调递减的,所以当x=x1处是该函数在区间(-π/2,0)上的最大值。

而可能最小值在端点,即h(-π/2)=e^(-π/2)>0,h(0)=0,所以在区间(-π/2,0)上h(x)都是恒大于0的,所以在区间(-π/2,0)上函数h(x)没有零点。

综上所述,h(x)在(-π,0)上零点的个数为1.06:27总结这道题第一大问中的两问,思路、步骤还是很好理解的,但是第二问就很多同学不是很理解,因为很多点都求不出来,但是对于这样的点,我们无需求解出来,完全可以设出来,其目的在于求出原函数h(x)的单调性,再根据该函数的特值点得出该函数零点的个数。

若f(x)有两个不同的零点求证x1x2

怎么根据角转化成直线k的范围是重点已知函数f(x)在(0,1)内有两个零点求a的取值范围?

这类题思路在这函数g(x)=|f(x)-t|-2有三个零点求t,怎么入手?


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