例①如图(1)所示,根据已学过的知识求出下面星形中角∠A+∠B+∠

简介: 例1、①如图(1)所示,根据已学过的知识求出下面星形中角∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数;②如果把图(1)中的星形截去一个角,如图(2)所示,求∠A+∠B+∠

例1、①如图(1)所示,根据已学过的知识求出下面星形中角∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数;②如果把图(1)中的星形截去一个角,如图(2)所示,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数;③如果再把图(2)中的角进一步截去,如图(3)所示,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N的度数。

可以看出∠EFD是△BEF的外角,∠AGC是△GFD的外角,三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和,所以∠GFD=∠B+∠E,∠AGC=∠GFD+∠D,因此∠AGC=∠B+∠E+∠D。

现在就把这五个角转化到△ACG中,所以只需求△ACG的内角和就可以了,三角形内角和大家都知道是180°,你看,转化之后是不是很简单,是不是秒出。

∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠C+∠GFD∠D=∠A+∠C+∠AGC=180°。

②设DF与BE相交于H,DF与AE相交于G,如上图(2)所示,所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠A+∠C+∠D+∠GHE+∠E=∠A+∠C+∠D+∠AGD=360°。

所以我们可以得出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N=1080°。

自然,我们也可以换另一种方法来计算,我们来看一下第③小问,如上图所示:因此:∠A+∠N+∠1+∠2=360°,∠B+∠C+∠3+∠4=360°,∠D+∠E+∠5+∠6=360°,∠F+∠G+∠7+∠8=360°,∠H+∠M+∠9+∠10=360°,又因为:∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8+∠9+∠10=2×360°=720°。

所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N=5×360°一720°=1080°。


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